1. 之前在网上看了一些关于核范数优化的文章，但是并没有清晰的了解整个优化的过程，因此找了一篇论文（A Singular Value Thresholding Algorithm for Matrix Completion）系统的学习了奇异值阈值算法并且利用亚梯度推导最优解的过程。

由亚梯度方法推导可以得到上述等式，即核范数的最优解等于对Y进行软阈值操作，从而进一步得到最优解

1. 除此之外，还阅读了一篇关于加权核范数在图像去噪方面应用的文章

Weighted Nuclear Norm Minimization with Application to Image Denoising

1. 研究背景：

核范数平等的正则化每一个奇异值，限制了处理实际问题的能力，在实际情况中，奇异值具有明确的物理意义，应该用不同的方式对待，更大的奇异值通常与主要投影元素有关，因此最好缩小得更少。因此本文研究了加权核范数最小化，给奇异值分配不同的权重，并且利用图像非局部自相似性将WNNM算法用于图像去噪。

1. 推导过程

WNMM的优化问题：

W代表权重向量，作者分别在三种情况下讨论了该问题的最优解

（后续推导需要使用的定理）

1. The weights are in a non-ascending order（w1≥w2……≥0）

尽管权重系数不是相同的，但是由于权重系数非递增，仍然可以使用软阈值算法对每个奇异值进行操作，因此得到的结果为：

1. The weights are in an arbitrary order

在这种情况下，WNNM求解是一个非凸问题，没有全局最优解，因此使用迭代算法来解决。

the optimal solution of P and Q are the column and row bases of the SVD of matrix Λ，，然后进行迭代，得到最终解。

1. The weights are in a non-descending order

在该种情况下，最优解仍然是

1. 参数设置

w：由于较大奇异值比较小的奇异值更重要，因此，在实际应用中，奇异值越大应该缩小得越少，所以奇异值得权重应该与奇异值成反比：

n代表在Yj中相同patches数目，c是一个常数，使得除数不为0.

Xj的奇异值：由于Xj的奇异值不能直接得到，因此：

1. 将WNNM用于图像去噪，经过以下步骤得到恢复的图像

       

1. 结论

与BM3D等方法相比，WNNM不仅可以实现可见的PSNR改进，还可以更好的保存图片局部结构，并产生更少的视觉伪影。

1、NNM方法的缺点：平等的正则化每一个奇异值，极大地限制了处理实际问题的能力和灵活性，奇异值具有明确的物理意义，应该用不同的方式对待。更大的奇异值通常与主要投影元素有关，因此最好缩小得更少。--利用亚梯度方法进行推导

2、低秩矩阵近似旨在从其退化的观测中恢复底层低秩矩阵，目前有两种方法。（1）低秩矩阵分解，找到一个矩阵X尽可能的接近Y—非凸优化，同时分解成两个低秩矩阵的乘积（2）NNM，用X来近似Y，同时令X的核范数最小化—最紧密的凸松弛，可以通过软阈值轻松的解决。

3、图像的非局部相似性（对于自然图像中给定的local patch，在图像中可以找到许多与之相似的patch---基于此的算法（NCSR,LSSC））极大的促进了图像的降噪效果

3、WNNM算法通常是非凸的，论文贡献：（1）提供了WNNM的解决方案（2）对于图像去噪具有强大的潜力